¿Cómo probar un axioma?

Sé lo que estás pensando, “¿Miguel estás loco? ¡No se puede probar un axioma! ¡Ellos son proposiciones tan ‘evidentes’ que se aceptan sin requerir demostración previa! Si pudiera demostrarlo, entonces no sería un axioma, ¡sería un teorema!”

Básicamente, esta es la esencia del segundo teorema de incompletitud de Gödel: un sistema formal no puede demostrar su propia consistencia. Pero hay un truco aquí. Aunque un sistema no puede probar su auto-consistencia, nada impide que podamos utilizar un sistema más fuerte para probar otro sistema más débil. Para mostrar cómo se puede hacer esto, vamos a usar como ejemplo el más antiguo de todos los axiomas.

El primer axioma de Euclides

El primer sistema axiomático fue aquel publicado en los Elementos de Euclides: los cinco postulados que definen las reglas de la geometría. El axioma que abre la lista no podría ser más simple:

Axioma 1: “Una línea recta puede ser dibujada uniendo dos puntos cualesquiera”.

¡Pero esa simplicidad es traicionera! De hecho, esta afirmación sólo tiene sentido si se sabe de antemano lo que es un punto y una recta. Euclides sabía de ese problema, por lo que antes de presentar sus cinco axiomas, comenzó el libro con una serie de 23 definiciones. Para nosotros, las definiciones importantes son las 1, 2 y 4:

Definición 1: “Un punto es aquello que no tiene parte”.

Esto tiene sentido. El punto es el elemento indivisible, lo que no puede ser roto en pedazos, el átomo. En lenguaje moderno, el punto es un elemento de dimensión 0, que describe una posición en el espacio.

Definición 2: “Una línea es una longitud sin anchura”.

Esto también tiene sentido. La línea es una cosa larga e infinitamente fina. Hoy en día, diríamos que la línea es un elemento de dimensión 1.

Definición 4: “Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella”.

Y aquí, my friends, es donde la puerca tuerce el rabo. ¿Qué rayos Euclides quiso decir con eso?. Me quedé un tiempo tratando de interpretar esa frase y no tuve éxito. En mi desesperación, traté de encontrar el texto original, pero incluso en el texto original la frase es ambigua.

Sin otra alternativa, recurrí a alguien que entienda más que yo. Este fue el griego Proclo, que vivió en el siglo 5 d.C, y publicó una versión comentada de los Elementos. Según Proclo, Euclides quería decir que “de todas las líneas, sólo la línea recta ocupa una distancia igual a aquella entre sus puntos. Pues la distancia de dos puntos entre sí es la misma que la longitud de la línea recta que los tiene como extremidades.

Es decir, por la interpretación de Proclo, la cuarta definición es equivalente a decir que, de todas las líneas que unen dos puntos, la recta es la menor de ellas!

Estrictamente hablando, esta definición sólo quita la suciedad debajo de la alfombra, porque ahora es necesario definir qué es distancia. Pero esto ya es suficiente para nuestro propósito. Tenemos un sistema que define lo que es la distancia: el tensor métrico de Riemann! Si asumimos que el cálculo sobre los números reales existe, entonces podemos utilizarlo para demostrar el primer axioma de Euclides (es decir, voy a utilizar un sistema formal más fuerte para probar uno más débil).

Aunque el axioma es simple, los cálculos para demostrarlo no lo son. Si se asusta fácilmente con ecuaciones diferenciales parciales, salte toda esta parte.

Vamos a empezar con el tensor métrico de Riemann. En geometría euclidiana, es el propio teorema de Pitágoras:

Podemos multiplicar y dividir por dx^2  (sí, lo sé), y luego tomar la raíz cuadrada de ambos lados:

Supongamos que la función final es y=f(x). Entonces dy/dx es la derivada de f(x). Y en ese punto podemos integrar de los dos lados:

Si la línea entre A y B es descrita por la función f(x), a continuación, su longitud es S . Nuestro objetivo es encontrar la función f(x) que minimiza S.

El que ya estudió cálculo debe estar pensando “es sólo derivar e igualar a cero!”. La intuición es la misma, pero los detalles son diferentes. No queremos encontrar un punto que minimiza una función, queremos encontrar una función que minimiza una integral.

Este tipo de problema se resuelve mediante el cálculo de variaciones. La teoría en general es más bien complicada, pero en este caso específico tiene una fórmula que resuelve el problema por sí solo, la ecuación de Euler-Lagrange. La forma es la siguiente: supongamos que tiene una función de L[x, f(x), f'(x)]. Entonces el extremo de la integral de abajo…

…es dado por la solución de esta ecuación diferencial:

En nuestro caso, la función L[x, f(x), f'(x)] viene dada por:

Ahora voy a hacer las cuentas en cámara lenta porque son ligeramente diferentes del cálculo normal que estamos acostumbrados. El primer término de la ecuación es cero porque L es constante en relación  a f(x). Compruebe: en la expresión de L aparece f'(x), pero no aparece f(x).

Para la segunda derivada parcial, sólo se aplica la regla de cadena. Este paso tiene un truco:

Espera, ¿en la segunda línea no se tenía que multiplicar por la segunda derivada de f? se haría, si estuviera derivando en relación a x, pero estamos derivando en relación a f'(x)!

Podemos hacer la última derivada ahora:

Ahora es sólo reemplazar en la ecuación original:

¡Oh, el denominador es siempre positivo, entonces se puede quedar fuera!

tachán! La línea de menor distancia que enlaza dos puntos es realmente una recta! Pero aún no ha terminado, falta probar que la recta es única.

Allí, C1 y C2 se definen de manera única por los puntos en los extremos, entonces la línea que los une, es único. QED.

Mi telepatía va fuerte últimamente, por lo que sé lo que está pensando, “¿Qué es eso Miguel? tomaste una proposición de la geometría que era intuitiva, y la transformaste en un montón de cálculos horrendos!

Si es verdad. Lo hice a propósito, para ilustrar un punto importante: ¿para que quiere limitarse a lo que su intuición alcanza? ¡Tenemos a disposición cinco milenios de matemáticas que nos permiten trabajar con cosas mucho más allá de lo que nuestra intuición consigue visualizar!

En estos cálculos, usamos el tensor métrico para encontrar lo que es una recta en el espacio euclídeo. Pero el mismo razonamiento puede ser usado para encontrar rectas en cualquier tipo de métrica. ¿Y sabe quién más camina en línea recta? La luz!

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